关于二维光滑有界域上的 Ambrosetti-Malchiodi-Ni 猜想

我们考虑问题 $$\epsilon^2 \Delta u-V(y)u+u^p\,=0,~~u>0~~\quad\mbox{in}\quad\Omega,~~\quad\frac {\partial u}{\partial \nu}\,=0\quad\mbox{on}~~~\partial \Omega,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^2$ 中具有光滑边界的有界域, 指数 $p>1$, $\epsilon>0$ 为小参数, $V$ 是 $\bar{\Omega}$ 上一致正的光滑势, $\nu$ 表示 $\partial \Omega$ 的外法向。设 $\Gamma$ 为一条曲线, 与 $\partial \Omega$ 恰好正交相交于两点并将 $\Omega$ 分成两部分。此外, $\Gamma$ 关于泛函 $\int_{\Gamma}V^{\sigma}$ 满足静止与非退化条件, 其中 $\sigma=\frac {p+1}{p-1}-\frac 12$。我们证明存在解 $u_\epsilon$ 沿整个 $\Gamma$ 集中, 在距其任意正距离处关于 $\epsilon$ 指数小, 只要 $\epsilon$ 足够小且远离某些临界数。特别地, 这确立了 A. Ambrosetti, A. Malchiodi 与 W.-M. Ni 猜想 (p.327, [4]) 的二维情形的正确性。