关于二维光滑有界域上 Ambrosetti-Malchiodi-Ni 猜想：聚簇浓度层

我们考虑解在曲线上的聚簇浓度问题 $$\varepsilon^2 {\mathrm {div}}\big( \nabla_{{\mathfrak a}(y)} u\big)- V(y)u+u^p\, =\, 0, \quad u>0 \quad\mbox{in }\Omega, \qquad \nabla_{{\mathfrak a}(y)} u\cdot \nu\, =\, 0\quad\mbox{on } \partial \Omega,$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^2$ 中具有光滑边界的有界域，指数 $p>1$，$\varepsilon>0$ 为小参数，$V$ 是 $\bar{\Omega}$ 上一致正的光滑势，$\nu$ 表示 $\partial \Omega$ 的外法向。对于 $\bar\Omega$ 上的两个正光滑函数 ${\mathfrak a}_1(y), {\mathfrak a}_2(y)$，算子 $\nabla_{{\mathfrak a}(y)}$ 由下式给出 $$\nabla_{{\mathfrak a}(y)} u=\Bigg({\mathfrak a}_1(y)\frac{\partial u}{\partial y_1}, \, {\mathfrak a}_2(y)\frac{\partial u}{\partial y_2}\Bigg).$$