光滑有界域上非齐次Allen-Cahn方程的边界界面聚集

我们考虑非齐次Allen-Cahn方程 $$\epsilon^2\Delta u\,+\,V(y)(1-u^2)\,u\,=\,0\quad \mbox{in}\ \Omega, \qquad \frac {\partial u}{\partial \nu}\,=\,0\quad \mbox{on}\ \partial \Omega,$$ 其中$\Omega$是${\mathbb R}^2$中具有光滑边界$\partial\Omega$的有界域，$V(x)$为正的光滑函数，$\epsilon>0$为小参数，$\nu$表示$\partial\Omega$的单位外法向。对任意固定整数$N\geq 2$，我们将证明在$\partial \Omega$附近存在具有$N$个过渡层、相互距离为$O(\epsilon|\ln \epsilon|)$的聚集解$u_{\epsilon}$，前提是$\partial\Omega$的广义平均曲率$\mathcal{H}$为正且$\epsilon$避开发生共振的离散值集。我们的结果是A. Malchiodi、W.-M. Ni、J. Wei在Pacific J. Math.（卷229，2007，第2期，447-468页）以及A. Malchiodi、J. Wei在J. Fixed Point Theory Appl.（卷1，2007，第2期，305-336页）中（二维）结果的推广。