矢量 Allen-Cahn 方程向多相平均曲率流的定量收敛

相场模型如 Allen-Cahn 方程可能导致几何形状的形成与演化，这一现象可在适当的缩放机制下严格分析。在其尖锐界面极限中，具有 $N\geq 3$ 个不同极小值的势的矢量 Allen-Cahn 方程被推测描述分支界面通过多相平均曲率流的演化。在本工作中，我们在二维和三维环境维度以及一类适当的势下，对该陈述给出严格证明：只要多相平均曲率流的强解存在，具有精心准备初值的矢量 Allen-Cahn 方程的解在界面宽度参数 $\varepsilon\searrow 0$ 的极限下收敛于多相平均曲率流。我们甚至建立了收敛速率 $O(\varepsilon^{1/2})$。我们的方法基于 Allen-Cahn 方程及其极限运动的梯度流结构：基于最近提出的多相平均曲率流“梯度流校准”概念，我们引入了带多阱势的矢量 Allen-Cahn 方程的相对熵概念。这使我们能够克服其他方法的局限性，例如避免需要对 Allen-Cahn 算子进行稳定性分析或对正时刻能量附加收敛假设。