用于薄结构平均曲率流的惩罚 Allen-Cahn 方程

本文讨论薄结构平均曲率流的逼近，对此经典相场方法并不适用。所谓薄结构，是指非区域边界的曲面，典型的高余维对象如三维空间中的一维曲线（即细丝），或跨越边界曲线的皂膜。为逼近此类曲面的平均曲率流，我们考虑一个小的加厚，并对加厚集合施加一种结合经典 Allen-Cahn 方程与惩罚项的演化模型，该惩罚项在集合骨架附近取较大值。我们方法的新颖性在于该惩罚项的定义，其保证演化集合的最小厚度并防止其意外消失。我们证明了模型的若干理论性质，给出显示其与高余维平均曲率流联系的例子，并引入一种显式积分惩罚项的准静态数值格式。我们以细丝结构由平均曲率流演化的精确逼近说明了模型的数值效率，并也说明了其寻找 Steiner 问题或 Plateau 问题解的复杂三维逼近的能力。