幂平均曲率流的有限元逼近

文献 [21] 考虑了$\mathbb{R}^{n+1}$中超曲面的演化，其法向速度等于平均曲率的$k>1$次幂，并通过求解正则化水平集方程的光滑函数序列$u^{\epsilon}$的$C^0$极限获得了该流的水平集解$u$。我们证明了该收敛的速率。随后，我们使用四面体网格对区域进行三角剖分，并考虑连续有限元，即在三角剖分的每个四面体上次数$\le 2$的多项式。我们在$n=1$的情形下（即演化的超曲面为曲线）证明了上述正则化方程在有限元意义下存在解$u^{\epsilon}_h$，并估计了$u^{\epsilon}_h$与$u$之间的逼近误差。若使用高阶有限元，我们的方法可推广至$n>1$的情形。