抛物型自由边界相变与均曲率流

已知，抛物型 Allen--Cahn 方程与均曲率流之间存在密切关系，即抛物型 Allen--Cahn 方程可视为“扩散型”均曲率流。本文推导了受迫均曲率流 [v=-H-\partial_\nu\log |\nabla u|+f(u)/|\nabla u|]，其由解非线性抛物方程 [\partial_tu=\Delta u-f(u)] 的任意水平面满足。此外，我们引入内梯度流的概念，并在梯度流框架中统一抛物型自由边界问题。最后，我们考虑抛物型自由边界 Allen--Cahn 方程 [\left\{ \begin{alignedat}{2} \partial_tu&=\Delta u\quad&&\text{in}\quad\{|u|<1\} |\nabla u|&=1/\epsilon\quad&&\text{on}\quad\partial\{|u|<1\}, \end{alignedat}\right\]，并确认在合理假设下，强制项 \partial_\nu\log|\nabla u| 的 C^{\alpha} 范数在 \\epsilon\rightarrow 0 时以代数速率收敛于零，时间上均匀。这表明抛物型自由边界 Allen--Cahn 方程在 \\epsilon 和时间上均匀地以 C^{2,\alpha} sense 收敛于均曲率流。