Allen-Cahn 流的 Brakke 正则性

本文中我们证明了抛物型 Allen-Cahn 方程的一个类似于 Brakke 的 $\varepsilon$-正则性定理的结论。特别地，我们证明了当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时收敛到光滑平均曲率流的过渡层具有一致的 $C^{2,\alpha}$ 正则性。证明利用了单调公式、抛物型 Lipschitz 逼近与 blowup 的 Allen-Cahn 版本。同时也得到了抛物型 Allen-Cahn 整体永恒解的一个相应间隙定理。作为正则性定理的一个应用，我们肯定了 Ilmanen 提出的一个问题，即在平均凸情形下 $\mathbf {BV}$ 收敛中不存在抵消。