向量Allen-Cahn方程的多相解：晶体及其他复杂对称结构

我们对向量Allen-Cahn方程 $\Delta u-W_u(u)=0, x \in R^n$ 的整体对称解 $u:R^n\rightarrow R^m$ 进行了系统研究，其中 $W:R^m\rightarrow R$ 是光滑、对称、非负的，具有有限个零点，且 $W_u=(\frac{\partial W}{\partial u_1},\ldots,\frac{\partial W}{\partial u_m})^\top$。我们引入了关于同态 $f:G\rightarrow\Gamma$ （$G,\Gamma$ 为反射群）的等变性的通用概念，并证明了两个抽象结果，分别涉及 $G$ 有限和 $G$ 离散的情形，以证明等变解的存在性。我们的方法是变分法，并基于抛物型向量Allen-Cahn方程的映射性质以及向量极小化算子的逐点估计。