平面内 Cahn-Hilliard 方程的周期解

本文中，我们在欧氏平面中构造 Cahn-Hilliard 方程 $-\Delta(-\Delta u+W^{'}(u))+W^{"}(u)(-\Delta u+W^{'}(u))=0$ 的整体解（entire solutions），其中 $W(u)$ 为标准双井势 $\frac{1}{4} (1-u^2)^2$。此类解具有阴影一条 Willmore 平面曲线的非平凡剖面，并且当 $x_2 \to \pm \infty$ 时一致收敛到 $\pm 1$。这些解给出了 Gibbons 猜想在 Allen-Cahn 方程四阶对应物上的反例。我们还利用 Willmore 方程的特殊结构研究了这些解的 $x_2$-导数。