多势阱势的周期运动与向量 Allen-Cahn 方程中的层动力学

我们考虑一个在有限集上为零的非负势 $W$，并研究方程 $$\ddot{u}=W_u(u),\;\;t\in\R,$$ 的周期轨道的存在性，这些轨道具有按给定有限序列访问 $W$ 零点邻域的性质。我们给出了此类轨道存在的条件。引入新变量 $x=\epsilon t$（$\epsilon>0$ 小）后，这些轨道对应于抛物型方程 $$u_t=u_{xx}-W_u(u),\;\;x\in(0,1),\;t>0,$$ 在周期边界条件下的驻解。在本文的第二部分，我们研究该方程的解，这些解如同驻解一样具有层状结构。我们推导了一个描述层动力学的 ODE 系统，并表明它们的运动极其缓慢。