异宿连接附近周期轨道的存在性

我们考虑一个势 $W:R^m\rightarrow R$，其具有两个不同的全局极小值 $a_-, a_+$，并在对称性假设下，使用变分方法证明哈密顿系统 \begin{equation} \ddot{u}=W_u(u), \hskip 2cm (1) \end{equation} 有一族 $T$-周期解 $u^T$，且沿序列 $T_j\rightarrow+\infty$ 局部收敛于连接 $a_-$ 到 $a_+$ 的异宿解。随后我们聚焦于椭圆系统 \begin{equation} \Delta u=W_u(u),\;\; u:R^2\rightarrow R^m, \hskip 2cm (2) \end{equation}，将其解释为 (1) 的无穷维类比，其中 $x$ 起时间的作用，而 $W$ 被作用泛函 $$J_R(u)=\int_R\Bigl(\frac{1}{2}\vert u_y\vert^2+W(u)\Bigr)dy.$$ 所替代。我们假设 $J_R$ 在连接 $a_-$ 到 $a_+$ 的映射集合中有两个不同的全局极小化子 $\bar{u}_-, \bar{u}_+:R\rightarrow R^m$。我们在对称背景下工作，并通过极小化过程证明 (2) 有一族解 $u^L:R^2\rightarrow R^m$，其在 $x$ 上 $L$-周期，当 $y\rightarrow\pm\infty$ 时收敛于 $a_\pm$，且沿序列 $L_j\rightarrow+\infty$ 局部收敛于连接 $\bar{u}_-$ 到 $\bar{u}_+$ 的异宿解。