平面区域中N-涡旋哈密顿系统的周期解

我们研究区域$\Omega\subset\mathbb{C}$中$N$-涡旋问题无碰撞非常数周期解的存在性。这些解是一阶哈密顿系统$$\dot{z}_k(t)=-i\nabla_{z_k} H_\Omega\big(z(t)\big),\quad k=1,\dots,N$$的解$z(t)=(z_1(t),\dots,z_N(t))$，其中哈密顿量$H_\Omega$具有形式$$H_\Omega(z_1,\dots,z_N) = \frac1{2\pi}\sum_{{j,k=1}\atop{j\ne k}}^N \log\frac1{|z_j-z_k|} - F(z).$$ 函数$F:\Omega^N\to\mathbb{R}$依赖于流体动力学格林函数的正则部分，且无上界。哈密顿量无上界和无下界，是奇异的、不可积的，能量面非紧且未知是否为接触型。我们证明了一族周期解$z^r(t)$（$0<r<r_0$）的存在性，其最小周期$T_r\to0$当$r\to0$时任意小。这些解靠近$H_\Omega$的奇异集。我们的结果特别适用于一般有界区域，可以是单连通或多连通的。它也适用于某些无界区域。根据区域的不同，存在多个这样的族。