N-涡旋型奇异一阶Hamilton系统的周期解

我们关注平面区域$\Omega\subset\mathbb{R}^2$中$N$个点涡旋$z_1,\dots,z_N\in\Omega$的动力学。这由一个Hamilton系统描述： $$\Gamma_k\dot{z}_k(t)=J\nabla_{z_k} H\big(z(t)\big),\quad k=1,\dots,N,$$ 其中$\Gamma_1,\dots,\Gamma_N\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$是涡旋强度，$J\in\mathbb{R}^{2\times2}$是标准辛$2\times2$矩阵，且Hamilton量$H$是$N$-涡旋型的： $$H(z_1,\dots,z_N) = -\frac1{2\pi}\sum_{j\ne k}^N \Gamma_j\Gamma_k\log|z_j-z_k| - \sum_{j,k=1}^N\Gamma_j\Gamma_kg(z_j,z_k).$$ 这里$g:\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}$是一个任意的$C^2$类对称函数，例如流体动力学Green函数的正则部分。给定$h(z)=g(z,z)$的一个非退化临界点$a_0\in\Omega$，以及平面中$g=0$时Hamilton系统的一个非退化相对平衡$Z(t)\in\mathbb{R}^{2N}$，我们证明存在一条光滑的周期解路径$z^{(r)}(t)=\big(z^{(r)}_1(t),\dots,z^{(r)}_N(t)\big)\in\Omega^N$，$0<r<r_0$，满足当$r\to0$时$z^{(r)}_k(t)\to a_0$。在极限$r\to0$下，经过适当的重标度，这些解看起来像$Z(t)$。