区域中涡型问题具有指定最小周期的周期解

我们考虑具有两个自由度的点涡型哈密顿系统 $$\kappa_j \dot{z}_j = J \nabla_{z_j} H_\Omega(z_1,z_2), \quad j=1,2,$$ 其中 $z_1,z_2$ 在区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 中。在经典点涡背景下，哈密顿量 $H_\Omega$ 形式为 $$H_\Omega(z_1,z_2) = -\frac{\kappa_1 \kappa_2}{\pi} \log |z_1-z_2| - 2\kappa_1 \kappa_2g(z_1,z_2) - \kappa_1^2 h(z_1) - \kappa_2^2 h(z_2),$$ 其中 $g:\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}$ 是 $\Omega$ 中流体动力学Green函数的正则部分，$h:\Omega\to\mathbb{R}$ 是Robin函数：$h(z)=g(z,z)$，$\kappa_1$、$\kappa_2$ 为涡强。我们证明了存在无穷多个具有指定最小周期的周期解，它们是靠近 $h$ 的星型等值线的涡量中心慢运动与两个涡绕其涡量中心快旋转的叠加。证明基于Fonda和Ureña最近提出的Poincaré-Birkhoff定理的高维版本。