涡旋与调和流之间的相互作用：二维 Euler 方程的 Hodge 分解

设 $\Sigma$ 为无边界的紧流形，其第一同调非平凡。不可压缩 Euler 方程在 1-形式意义下的 Hodge 分解给出一个耦合的 PDE-ODE 系统。其 $L^2$-正交分量是一个“纯”涡度流与一个势流（调和的，维数等于同调的维数）。本文关注无边界紧 Riemann 面上 $N$ 个点涡旋在共形类中选定度量下的情形，其亏格为 $g$。相空间维数为有限值 $2N+ 2g$。我们计算了环面（$g=1$）上带非平坦度量的单个涡旋（$N=1$）运动的截面，显示出非可积 2-自由度 Hamilton 系统的典型特征。相反，对于平坦环面，调和部分是常数。接着，我们转向具有常曲率 -1 及离散对称性的双曲曲面（$g \geq 2$）。对合的不动点给出 Poincaré 圆盘中的涡旋晶格。最后我们考虑多连通平面区域。Green 与 Thomson 的镜像法在 Schottky 双覆盖中被审视。由 C.C. Lin 著名定理给出的 Kirchhoff-Routh 哈密顿量通过 Marsden-Weinstein 约化从 $2N+2g$ 恢复到 $2N$ 而得到。静电 Green 函数与水动力 Green 函数之间的关系被阐明。文中提出了若干有待研究的问题。