一族离散化旋转中的近可积行为
动力系统
2014-06-02 v1
摘要
我们考虑通过对平面旋转施加舍入操作而得到的二维格点的一族单参数可逆映射。猜想这些映射的所有轨道都是周期的。我们令旋转角度趋于 pi/2，并证明消失离散化的极限由一个可积的分段仿射 Hamilton 流描述，由此平面叶状化为具有递增边数的不变多边形族。作为对该流的扰动，格点映射呈现出不同的特征，这由带状映射（strip maps）描述：它是多边形外弹球（outer billiards）中带状映射的一个变体。此外，该流是非线性的（不同于原始旋转），且适当选取的 Poincare 回复映射满足扭转条件。舍入扰动引入了 KAM 型现象：我们识别出在扰动下存留的无扰动曲线，并证明它们在相空间中构成一个正测度集。我们通过考虑对称轨道来证明这一点，所依据的条件允许我们获得密度的显式值。最后，我们证明无穷远处的运动呈现二分性：存在一种非线性趋于零而仅留扰动的体制，以及另一种非线性占主导的体制。在非线性保留的区域内，数值证据表明轨道周期的分布与随机动力学相一致；而在非线性缺失时，涨落导致了复杂的离散共振结构。
引用
@article{arxiv.1405.7913,
title = {Near-integrable behaviour in a family of discretised rotations},
author = {Heather Reeve-Black},
journal= {arXiv preprint arXiv:1405.7913},
year = {2014}
}
备注
PhD Thesis, Queen Mary University of London, 117 pages