BPS 涡旋-反涡旋对空间的几何

定义在黎曼曲面 $\Sigma$ 上、以 $\mathbb{P}^1$ 为目标的规范 sigma 模型支持静态解，其中 $k_+$ 个涡旋与 $k_-$ 个反涡旋稳定平衡共存。它们的模空间是一个非紧复流形 $M_{(k_+,k_-)}(\Sigma)$，维数为 $k_++k_-$，并继承一个自然的 K\"ahler 度量 $g_{L^2}$，支配该模型的低能动力学。本文首次对 $g_{L^2}$ 进行细致研究，聚焦于靠近边界除子 $D=\partial M_{(k_+,k_-)}(\Sigma)$ 的几何。在 $\Sigma=S^2$ 上，获得了 $g_{L^2}$ 在 $D$ 附近的严格估计，表明 $M_{(1,1)}(S^2)$ 具有有限体积且测地不完全。在 $\Sigma=\mathbb{R}^2$ 上，利用细致的数值分析和点涡形式体系，猜想了 $g_{L^2}$ 在小分离和大分离极限下的渐近公式。所有这些结果都用到一条局域化公式，将 $g_{L^2}$ 用（反）涡旋位置处的数据表示，该公式对一般 $M_{(k_+,k_-)}(\Sigma)$ 成立。对任意紧 $\Sigma$，基于规范线性 sigma 模型的某一极限，提出了空间 $M_{(k_+,k_-)}(\Sigma)$ 的一个自然紧化，并给出其体积和总标量曲率的公式。体积公式与为 $Vol(M_{(1,1)}(S^2))$ 建立的结果一致，并允许对涡旋-反涡旋气体混合物的热力学进行详细研究。发现状态方程与 $\Sigma$ 的亏格无关，且混合熵恒为正。