大质量规范非线性 Sigma 模型中的两类涡旋

本文探讨了标量场取值于$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$复流形的非线性 Sigma 模型。在最简单的$n=1$情形下，其中靶流形为$\mathbb{S}^2$球面，我们通过立体投影映射来描述标量场。在此情形下，当$\mathbb{U}(1)$对称性被规范固定且允许存在 Maxwell 项和质量项时，该模型容纳两种具有不同单位长度能量的稳定自对偶涡旋，其中 Higgs 场在核心处围绕球面的两个相反极点缠绕。通过在磁场中引入介电函数，并稍微修改势能，可以在南图和北图中发现类似但更丰富的不同种类自对偶涡旋。设想了两种不同情况：要么真空轨道位于球面上的一个纬线上，要么一个极点和同一个纬线构成真空轨道。除了两类自对偶涡旋外，第二种情况还存在 BPS 畴壁。将规范场对作用量的 Maxwell 贡献替换为仅在$(2+1)$维 Minkowski 时空中可能的第二 Chern-Simons 次级类，会出现两类新的 BPS 拓扑缺陷。即，由于真空轨道由两个极点和一个纬线组成，南图和北图中均存在 BPS 涡旋和畴带。在参考图中表述规范化的$\mathbb{C}\mathbb{P}^2$模型显示出自对偶结构，使得 BPS 半局域涡旋存在。转换到第二或第三图的转换函数破坏了$\mathbb{U}(1)\times\mathbb{S}\mathbb{U}(2)$半局域对称性，但仍存在第二类标准自对偶涡旋的空间。包含$N$个复标量场的相同结构可轻易推广至规范$\mathbb{C}\mathbb{P}^N$模型。