平面上圆、椭圆及双极调和涡旋的完备集

本文在二维圆坐标、椭圆坐标及双极坐标系下，提出了一类不可压缩流体稳态 Euler 方程的调和解。由于此种情形下速度场是无散的，它可以写为矢量势的旋度，该矢量势随后满足以涡量为源项的 Poisson 方程。在涡量为零的区域，Poisson 方程退化为 Laplace 方程，这使得能够 depending on 坐标系构建圆和椭圆内部及外部的调和势。矢量势垂直于坐标平面，且与平面上的标量调和函数成正比，从而保证速度场也是调和的并位于坐标平面内。速度场垂直于圆或椭圆的分量是连续的，但切向分量是不连续的，因此实际上在这些边界处引入了涡片 (vortex sheet)。这种不连续性度量了垂直于平面并沿相应圆或椭圆周长调和分布的涡量。本文获得了流线的解析表达式，使得各种几何形状和调和性的涡旋可视化成为可能。该方法还允许从 Poisson 方程 Green 函数多极展开的传统意义上，重新表述涡旋多极性的概念。作为该公式适用于已知涡旋结构的一个示例，不同几何形状的 Rankine 涡旋被用调和函数表示。