N-涡旋型哈密顿系统在区域边界附近的周期解

本文研究区域 $\Omega\subset\mathbb{C}$ 中奇异一阶 $N$-涡旋型哈密顿系统无碰撞非定常周期解的存在性。这些解 $z(t)=(z_1(t),\dots,z_N(t))$ 满足 $$\dot{z}_j(t)=-i\nabla_{z_j} H_\Omega\big(z(t)\big),\quad j=1,\dots,N, \tag{HS}$$ 其中哈密顿量 $H_\Omega$ 具有形式 $$H_\Omega(z_1,\dots,z_N) = -\sum_{{j,k=1}\over{j\ne k}}^N \frac{1}{2\pi}\log|z_j-z_k| -\sum_{j,k=1}^N g(z_j,z_k).$$ 函数 $g:\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}$ 要求为 $C^3$ 类且对称，流体动力学格林函数的正则部分是我们的模型。该哈密顿量上下均无界，且相关联的作用量积分在周期 $H^{1/2}$ 函数空间的某个开子集上未定义。给定一个 $C^3$ 类的闭连通分支 $\Gamma\subset\partial\Omega$，我们关注 (HS) 在 $\Gamma$ 附近的周期解。我们给出了 $g$ 在 $\Gamma$ 附近行为相当一般的条件，这些条件意味着存在一族周期解 $z^{(r)}(t)$，$0<r<\overline{r}$，其极小周期 $T_r$ 随 $r\to0$ 而任意小，且使得“点涡旋” $z_j^{(r)}(t)$ 随 $r\to0$ 趋近于 $\Gamma$。这些解是编排解，即 $z_j^{(r)}(t)$ 在与 $z_1^{(r)}(t)$ 相同的轨迹上运动，但有一个相位差。我们还能将每个涡旋的速度与 $\Gamma$ 的曲率联系起来。