由经典 Zernike 系统导出的弯曲空间上高阶超可积动量依赖哈密顿量

我们考虑如下经典的动量或速度依赖的二维哈密顿量：$$\mathcal H_N = p_1^2 + p_2^2 +\sum_{n=1}^N \gamma_n(q_1 p_1 + q_2 p_2)^n ,$$ 其中 $q_i$ 和 $p_i$ 为一般正则变量，$\gamma_n$ 为任意系数，且 $N\in \mathbb N$。当 $N=2$ 且 $\gamma_1,\gamma_2$ 均不为零时，这退化为经典 Zernike 系统。我们证明 $\mathcal H_N$ 总是给出一个超可积系统（对任意 $\gamma_n$ 和 $N$ 值），通过显式地给出相应的运动常数，它们被证明是动量中的高阶量。此类一般性结果不仅应用于欧氏平面，也应用于球面与双曲平面。在后两种弯曲空间中，$\mathcal H_N$ 以测地极坐标表示，表明这一新的超可积哈密顿量可视为各向同性 1:1 弯曲（Higgs）振子与偶阶非谐弯曲振子的叠加，再加上另一高阶动量依赖势的叠加。此外，还研究了由运动常数确定的对称代数，得到了 $(2N-1)$ 阶多项式代数。作为副产品，$\mathcal H_N$ 被解释为经典 Zernike 系统的一族超可积扰动。最后，证明了 $\mathcal H_N$（以及 Zernike 系统）具有 Poisson $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$-余代数对称性，这将允许进一步可能的推广，文中亦对此进行了讨论。