$\wt{\gr{gl}}(2)^{+*}$ 中的经典与量子可积系统及变量分离

由环代数 $\wt{\gr{gl}}^{+*}(2,{\bf R})$ 的有理余伴随轨道上谱不变量泊松交换环的元素生成的经典可积哈密顿系统，通过在超椭球坐标下的 Hamilton-Jacobi 方程中的变量分离得以积分。随后证明，在相同坐标下，正则量子化系统也是完全可积且可分离的。在量子化系统中，通过选择一个约束作为不变量，并将另一个约束解释为确定一个商空间（即，将一个视为第一类约束，另一个视为规范条件），来实现定义约化相空间的第二类约束对。由此得到球面和椭球面上的完全可积、可分离系统，但椭球面上的系统需要对交换不变量进行 $\OO(\hbar^2)$ 阶的进一步修正，以确保自伴性并恢复自由运动情形下的拉普拉斯算子。对于每种情况——在环境空间 ${\bf R}^{n}$、球面和椭球面上——薛定谔方程在超椭球坐标下完全分离，得到广义拉梅型方程。