一类复常微分方程系统的周期解。II. 更高周期

在先前一篇论文中讨论了常微分方程系统的\textit{实}演化 \ddot{z}_{n} + z_{n}=\sum\limits_{m = 1, m \ne n}^{N} g_{nm}{(z_{n} - z_{m})}^{- 3}, z_{n} \equiv z_{n}(t), \qquad \dot {z}_{n} \equiv \frac{d z_{n}(t)}{dt}, \qquad n = 1,...,N 于C_{N}中，即N个因变量z_{n}以及N(N - 1)个（任意的！）“耦合常数”g_{nm}被视为\textit{复}数，而自变量t（“时间”）为\textit{实}数。在此背景下证明了：在初值数据z_{n}(0), \dot {z}_{n} (0)的相空间中，存在一个具有\textit{无限}测度的开域，使得从中发出的\textit{所有}轨迹均以2\pi为周期\textit{完全周期}，z_{n} (t + 2\pi) = z_{n}(t)。本文中我们通过解析技巧和数值模拟展示，研究了其余解，特别地表明存在许多——从相空间中具有非零测度的初值数据集中发出——同样\textit{完全周期}但以2\pi的\textit{整数倍}为周期的解。我们还阐明了产生\textit{非周期}解（包括以“混沌”行为为特征者，即在初值问题背景下与初值的\textit{敏感依赖}相关联者）的机制。