Benjamin-Ono 方程时间周期解的计算

我们提出了一种谱精度数值方法，用于寻找非线性偏微分方程的非平凡时间周期解。该方法基于最小化一个泛函（关于初始条件和周期），除非解是周期的（此时泛函为零），否则该泛函为正。我们求解一个伴随偏微分方程来计算该泛函关于初始条件的梯度。我们在泛函中包含附加项以指定自由参数，对于 Benjamin-Ono 方程，这些参数包括均值、空间相位、时间相位以及 $t=0$ 时某一傅里叶模的实部。我们利用该方法研究了连接 Benjamin-Ono 方程驻波和行波的非平凡时间周期解的全局路径。作为每条路径的初始猜测，我们通过封闭形式求解无限维特征值问题来计算线性化问题的周期解。随后，我们使用数值方法将这些解延续到线性理论范围之外，直到达到另一个行波。通过对数据拟合的实验，我们确定了连接单峰驻波解与双峰行波解的路径上解的解析形式。接着，利用数值模拟建议的 ansatz，通过显式求解控制孤子演化的常微分方程组，推导出了这些解的精确公式。