二维抛物型 Allen-Cahn 系统的异宿行波

在本文中，我们证明抛物型 Allen-Cahn 系统 \begin{equation} \partial_t w - \Delta w = -\nabla_u V(w) \mbox{ in } [0,+\infty) \times \mathbb{R}^2, \end{equation} 存在行波 $w: [0,+\infty) \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^k$ ($k \geq 2$)，其在无穷远处满足某些\textit{异宿}条件。势 $V$ 是一个非负且光滑的多阱势，这意味着其零集有限且至少包含两个元素。行波 $w$ 沿水平轴以速度 $c^\star>0$ 和剖面 $\mathfrak{U}$ 传播。剖面 $\mathfrak{U}$ 在 $x_1 \to \pm \infty$ 时（在适当意义下）连接两个具有不同能量且局部极小的一维异宿轨道，速度 $c^\star$ 满足某些唯一性性质。证明是变分的，特别地，它需要对一维异宿轨道能量之差施加依赖于 $V$ 的上界假设。