Clifford 环与奇异扰动 Cahn-Hilliard 方程

本文在体积约束 $\int_{\mathbb{R}^{3}}(1-u_{\varepsilon})dx=4\sqrt{2}\pi^{2}$ 下构造了 Cahn-Hilliard 方程 $-\varepsilon^{2}\Delta(-\varepsilon^{2}\Delta u+W^{'}(u))+W^{"}(u)(-\varepsilon^{2}\Delta u+W^{'}(u))=0$ 的整体解 $u_{\varepsilon}$，当 $\varepsilon\to 0$ 时，其结点集逼近 Clifford 环面，即嵌入在 $\mathbb{R}^{3}$ 中半径比为 $1/\sqrt{2}$ 的环面。关键在于 Clifford 环面是一个 Willmore 超曲面，并且在相差共形变换的意义下是非退化的。证明基于 Lyapunov-Schmidt 约化以及拉普拉斯算子的精细几何展开。