关于 $S^{n+1}$ 中具有对称性的嵌入极小超曲面

在本文中，我们推广了 Ros 关于 Clifford 环面的一个刻画。设 $f:M\rightarrow S^{n+1}$ 为一个嵌入闭极小超曲面。假设存在 $(n+2)$ 个两两正交的 $S^{n+1}$ 中大超球面，使得 $M$ 关于它们对称。令 $S$ 表示 $f$ 的第二基本形式长度的平方，并令 $\bar S=\frac{1}{Vol(M)}\int_{M} Sd M$ 为 $S$ 的平均值。则 $\bar S\geq n$，等号成立当且仅当 $f$ 为 Clifford 环面 $C_{m,n-m}$。它可改写为一个 Simons 型定理：若 $0\leq \int_M (n-S)d M$，则要么 $S\equiv0$，要么 $S\equiv n$。这部分地回答了 Perdomo 的一个猜想。此外，建立了 $f$ 的 Willmore 能量的估计：$W(M)\geq n^{\frac{n}{2}}Vol(M)$。