关于球面极小超曲面的指标

设 $M\subset S^{n+1}\subset\mathbb{R}^{n+2}$ 为 $n$ 维欧氏单位球面的紧致极小超曲面。记 $|A|^2$ 为第二基本形式范数的平方，$J(f)=-\Delta f-nf-|A|^2f$ 为稳定性算子。已知当 $M$ 为全测地球面时指标（即 $J$ 的负特征值个数）为 1，当 $M$ 为 Clifford 极小超曲面时为 $n+3$。有人猜想，对于任何其他极小超曲面，指标必大于 $n+3$。该猜想的一个部分结果表明，若指标为 $n+3$ 且 $M$ 不是 Clifford 超曲面，则 $\int_M |A|^2<n|M|$，其中 $|M|$ 为 $M$ 的 $n$ 维体积。某种程度上该部分结果表明，若 $M$ 的指标为 $n+3$，则 $|A|^2$ 函数的平均值需较小。在本注记中，我们证明此平均值不可能非常小。我们将证明：对于任意满足 $\delta_1+\delta_2=1$ 的正数对 $\delta_1$ 和 $\delta_2$，若 $\int_M |A|^2\le \delta_2 n|M|$ 且对所有 $x\in M$ 有 $|A|^2(x)\le2n\delta_1$，则 $M$ 的指标大于 $n+3$。