关于 Willmore 球面的指标

我们考虑欧几里得空间中作为具有嵌入平面端的完备极小曲面反演而得到的无分支 Willmore 曲面。我们证明了关于 Morse 指标(即局部降低 Willmore 能量的线性无关变分方向的数目)上下界的若干命题。我们特别计算了三维空间中 Willmore 球面的指标。该指标为 $m-d$,其中 $m$ 为相应完备极小曲面的端数,$d$ 为 $m$ 重端点处法线张成空间的维数。维数 $d$ 为 2 或 3。对于 $m=4$,我们证明 $d=3$。一般而言,我们表明 Morse 指标与相应极小曲面上对数增长 Jacobi 场的数目之间存在强关联。