S^3中Willmore球的莫斯指数

我们得到了源于 $S^2$ 浸入的 $S^3$ 中Willmore球 $\Sigma$ 的莫斯指数的上界。Willmore能量的量子化表明存在整数 $m$ 使得 $\mathscr{W}(\Sigma)=4\pi m$。然后我们证明 $\mathrm{Ind}_{\mathscr{W}}(\Sigma)\leq m$。证明依赖于一个显式计算，该计算通过Robert Bryant的基本分类，将 $\Sigma$ 的 $\mathscr{W}$ 的二阶导数与它在 $\mathbb{R}^3$ 中通过球极投影所成像的极小曲面的雅可比算子联系起来。