关于球面中极小曲面的能量指标与第一特征值的注记

从曲面到 $S^3$ 的极小浸入既可视为面积的临界点,也可视为能量的临界点。虽然在一阶上没有差异,但考察各自的二阶变分则会揭示出显著的不同。众所周知,只要第一特征值满足 $\lambda_1(\Sigma)\geq2$,就有指标 $\mathrm{ind}_E(\Sigma)\leq 4$。其逆向蕴含则微妙得多。我们证明:只要 $\lambda_1(\Sigma)<\frac{1}{6}$,就存在一个与四个 M\"obius 向量场正交的向量场 $X$,其二阶变分为负。我们还证明了该命题的任意余维版本:任何浸入的极小曲面 $\Sigma\subset S^n$,若其第一特征值满足 $\lambda_1(\Sigma)<\frac{n-2}{2n}$,则存在一个与 $n+1$ 个 M\"obius 向量场正交的向量场 $X$,其二阶变分为负。