Lawson 表面的对称性与第一拉普拉斯特征值

本文研究 Lawson 嵌入单位三维球面 $\mathbb{S}^3$ 中的最小面 $\xi_{m,k}$ 的第一个特征值。我们受到 Yau 关于闭嵌入三维球面中最小超曲面的第一个特征值的猜想的启发，发展了一种基于对称性的方法来证明 $\lambda_1(\xi_{m,k})=2$ 这一等式，其中 $m$ 和 $k$ 均为偶数。该方法利用 Lawson 构造中固有的离散反射对称性，结合相关反射群的代数结构、Courant 的节点域定理以及由 Takahashi 定理得到的坐标特征函数。更具体地，我们证明只要验证基本区域中不变节点集的自然拓扑障碍，即可推出等式 $\lambda_1(\xi_{m,k})=2$ 成立。