闭黎曼曲面上 Laplace-Beltrami 算子特征值的最大化

设 $(M,g)$ 为一个连通、闭、可定向的黎曼曲面，记 $\lambda_k(M,g)$ 为 $(M,g)$ 上 Laplace-Beltrami 算子的第 $k$ 个特征值。在本文中，我们考虑映射 $(M, g)\mapsto \lambda_k(M,g)$。我们提出了一种计算方法，用于寻找共形谱 $\Lambda^c_k(M,[g_0])$，其定义为在固定体积 $textrm{vol}(M,g) = 1$ 的共形类 $[g_0]$ 内变化 $g$ 时，最大化固定 $k$ 的 $\lambda_k(M,g)$ 的特征值优化问题。我们还针对 $M$ 允许在固定亏格 $\gamma$ 的曲面上变化的情况提出了一种计算方法。这被称为亏格 $\gamma$ 的拓扑谱，记为 $\Lambda^t_k(\gamma)$。我们的计算支持 N. Nadirashvili (2002) 的猜想，即 $\Lambda^t_k(0) = 8 \pi k$，该值由退化为 $k$ 个相同圆球并集的曲面序列达到。此外，基于我们的计算，我们猜想 $\Lambda^t_k(1) = \frac{8\pi^2}{\sqrt{3}} + 8\pi (k-1)$，该值由退化为一个等边平坦环面和 $k-1$ 个相同圆球并集的曲面序列达到。我们将这些值与几个 Laplace-Beltrami 特征值已知的曲面进行了比较，包括球面、平坦环面和嵌入环面。特别是，我们证明了在体积为 1 的平坦环面中，第 $k$ 个 Laplace-Beltrami 特征值具有局部最大值，其值为 $\lambda_k = 4\pi^2 \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil^2 \left( \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil^2 - \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$。我们还通过计算研究了几种性质，包括唯一性、对称性和特征值重数。