关于曲面的 Friedlander-Nadirashvili 不变量

设 $M$ 为闭光滑流形。1999 年，L. Friedlander 与 N. Nadirashvili 利用黎曼度量 $g$ 的拉普拉斯-贝尔特拉米算子 $\Delta_g$ 的第一个归一化非零特征值引入了一个新的微分不变量 $I_1(M)$。他们先在每个共形类上对所有黎曼度量取该量的上确界，再对所有共形类取下确界来定义它。类比地，我们利用 $\Delta_g$ 的第 $k$ 个特征值定义由正整数 $k$ 索引的不变量 $I_k(M)$。本文研究了这些不变量在曲面上的取值。我们证明，除非 $M$ 是偶亏格不可定向曲面，否则 $I_k(M)=I_k(\mathbb{S}^2)$。对于可定向曲面且 $k=1$ 的情形，R. Petrides 此前已证明。事实上，L. Friedlander 与 N. Nadirashvili 曾猜想对任意异于 $\mathbb{RP}^2$ 的曲面 $M$ 均有 $I_1(M)=I_1(\mathbb{S}^2)$。我们证明，令人惊讶的是，这对偶亏格不可定向曲面不成立，此类曲面满足 $I_k(M)>I_k(\mathbb{S}^2)$。我们还讨论了 Friedlander-Nadirashvili 不变量与配边理论之间的联系，并猜想 $I_k(M)$ 是一个配边不变量。