作用于 p-形式上的拉普拉斯算子的特征值与度量共形形变

设 $(M,g)$ 为维数 $n\ge4$ 的紧连通可定向黎曼流形，并设 $\lambda_{k,p} (g)$ 为拉普拉斯算子 $\Delta_{g,p}=dd^*+d^*d$ 作用于 $M$ 上 $p$ 次微分形式的第 $k$ 个正特征值。我们证明度量 $g$ 可共形形变为度量 $g'$，其体积与 $g$ 相同，且对所有 $p\in[2,n-2]$ 有任意大的 $\lambda_{1,p} (g')$。注意对于 $p$ 的其他值，即 $p=0, 1, n-1$ 和 $n$，由文献可推得对任意 $k >0$，第 $k$ 个特征值 $\lambda_{k,p}$ 在 $M$ 上固定体积的任意共形度量类中是一致有界的。对于 $p=1$，我们证明对任意正整数 $N$，存在与 $g$ 共形的度量 $g_N$ 使得对所有 $k\le N$ 有 $\lambda_{k,1} (g_N) =\lambda_{k,0} (g_N)$，即 $\Delta_{g_N,1}$ 的前 $N$ 个特征形式均为恰当形式。