Klein 瓶上 Laplacian 算子的极大最小特征值

我们证明 Jakobson、Nadirashvili 与 Polterovich \cite{JNP} 近期提出的一个猜想：对 Klein 瓶 $\mathbb{K}$ 上的任意黎曼度量 $g$，有 $$\lambda\_1 (\mathbb{K}, g) A (\mathbb{K}, g)\le 12 \pi E(2\sqrt 2/3),$$ 其中 $\lambda\_1(\mathbb{K},g)$ 与 $A(\mathbb{K},g)$ 分别表示 $(\mathbb{K},g)$ 的 Laplacian 算子最小正特征值与面积，$E$ 为第二类完全椭圆积分。此外，除伸缩变换外，等式由度量 $$g\_0= {9+ (1+8\cos ^2v)^2\over 1+8\cos^2v} (du^2 + {dv^2\over 1+8\cos ^2v}),$$ 其中 $0\le u,v <\pi$，唯一达到。该定理的证明引导我们去研究一个哈密顿动力系统，它可经求积完全积分。