平坦环面上的特征值优化与各向异性扩张域中的格点

本文研究在 d 维单位体积平坦环面中，当 k 趋于无穷时拉普拉斯算子第 k 个特征值的最大化问题。我们证明了在任意维数下，对任意给定的 k 都存在最大化者，但当维数不超过 10 时，任何最大化者序列在 k 趋于无穷时都会退化。此外，我们获得了任意最大化者序列的注入半径的具体上下界。我们还证明了使拉普拉斯算子第 k 个特征值最大化的平坦 Klein 瓶表现出相同的行为。这些结果近期 Gittins 和 Larson 所得结果形成对比，后者指出无论维数如何，具有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件的最优长方体序列都收敛于立方体。我们通过 Weyl 渐近式并显式控制关于注入半径的余项得到了这些结果。我们将手头的问题归约为计算各向异性扩张域内的格点，其中我们通过考虑在不同方向上以不同速率扩张的域，推广了 Yu. Kordyukov 和 A. Yakovlev 的方法。