Neumann 特征值的最大化

本文的动机是在具有给定测度的 ${\mathbb R}^N$ 中区域上，最大化具有 Neumann 边界条件的 Laplace 算子的第 $k$ 个特征值。我们将问题松弛到 ${\mathbb R}^N$ 中具有给定质量的（可能退化的）密度类，并证明最优密度的存在性。对于 $k=1,2$，两个问题等价，且已知最大化子分别为一个和两个相等球。对于 $k \ge 3$，该问题仍开放，除了一维空间情形，我们证明最大密度对应于 $k$ 个相等线段的并。该结果给出了 Sturm-Liouville 特征值的上界，并证明了 Pólya 猜想在 ${\mathbb R}$ 中密度类中的有效性。基于松弛公式，我们给出了 ${\mathbb R}^2$ 中 $k=1, \dots, 8$ 最优密度的数值逼近。