谱与带边紧流形的共形几何

我们证明在任何带边紧流形$M^n$上，存在一个共形类$C$使得对任何黎曼度量$g\in C$，有$\lambda_1(M^n,g)Vol(M^n,g)^{2/n}< n.Vol(S^n,g_{\textrm{can}})^{2/n}$和$\sigma_1(M,g,\rho)\mathcal M(\partial M)Vol(M)^{\frac{2-n}n}<n.Vol(S^n,g_{\textrm{can}})^{2/n}$，其中$\lambda_1(M^n,g)$表示$(M,g)$上Neumann拉普拉斯算子的第一个正特征值，$\sigma_1(M,g,\rho)$是边界$\partial M$上密度$\rho$的第一个正Steklov特征值，$\mathcal M(\partial M)=\int_{\partial M}\rho dv_g$。证明依赖于流形的柄分解。我们还证明了$(M,C)$的共形体积是$Vol(S^n,g_{\textrm{can}})$，并且$M$的Friedlander-Nadirashvili体积和Möbius体积等于球面的体积。如果$M$是空间形式中的区域，则$C$是标准度量的共形类。