关于某些具有正 sigma 不变量流形及其实现的共形类

我们证明：Riemann 积 $(\mb{S}^k(r_1)\times \mb{S}^{n-k}(r_2), g^n_k)$（$r_1^2+r_2^2=1$）的度量在其共形类中是 Yamabe 度量，当且仅当 $g^n_k$ 为 Einstein 度量，或该流形到标准 $n+1$ 维球中的线性等距嵌入是极小的。我们将此结果与 Simons 间隙定理结合，证明对 $2\leq k\leq n-2$，具有极小嵌入的积度量的共形类（位于 Simons 间隙定理的上端）实现了 $\mb{S}^k\times \mb{S}^{n-k}$ 的 sigma 不变量，且这是唯一达到该值的共形类。类似地，我们利用 $\mb{P}^n(\mb{R})$、$\mb{P}^n(\mb{C})$ 和 $\mb{P}^n(\mb{H})$ 上适当缩放的标准 Einstein 度量 $g$ 到单位球中的连贯极小等距嵌入，确定了这些射影空间的 sigma 不变量，证明在每种情形下共形类 $[g]$ 都实现了该不变量，且这一实现类是唯一。