Yamabe 问题的变分方法：紧黎曼流形上的共形变换与数量曲率

我们首先采用分析方法讨论 Yamabe 泛函的极小元如何给出常数量曲率及其与 Sobolev 空间 $W^{1,2}$ 的关系。接着，在通过球极投影和伸缩变换论证球面 $S^n$ 的重要性之后，我们证明标准球面上 Yamabe 泛函的极小元是由标准圆度量 $\bar{g}$ 经共形微分同胚得到的，从而给出约束 $\lambda (M) < \lambda(S^n)$，并由此得到最终定理：当 $\lambda(M) < \lambda(S^n)$ 时 Yamabe 问题可解。该定理的证明我们采用集中紧性（Concentration-Compactness）方法。