存在奇异黎曼叶状结构时的 Yamabe 问题

利用变分方法以及由具有正维数叶的奇异黎曼叶状结构给出的对称性，我们证明了 Yamabe 型问题存在无穷多个变号解，这些解沿叶状结构的叶为常数，并且在具有这些对称性的任何其他解中存在一个最小能量的正解。特别地，我们在球面 Yamabe 问题上找到了具有新定性行为的变号解，相较于先前结果，即这些解沿一个既非由群作用也非由等参函数诱导的奇异黎曼叶状结构的叶为常数。为证明这些解的存在性，我们证明了一般奇异黎曼叶状结构的 Sobolev 嵌入定理，以及对应于 Yamabe 型问题的能量泛函的对称临界性原理。