旋转对称螺旋面上拉伸-贝尔特拉米算子特征值的临界度量

我们研究在螺旋面的共形类中，规范化后拉伸-贝尔特拉米算子特征值的第一个特征值的最大化问题。根据 Nadirashvili、El Soufi 与 Ilias 的结果，螺旋面共形类中第 $k$ 项规范化拉伸-贝尔特拉米算子特征值函数 $\bar\lambda_k$ 的临界度量对应于指向球面的调和映射。在本文中，我们构造了若干 $\mathbb S^1$ 等变调和映射 $\mathbb T^2\to\mathbb S^3$。对于每个非菱形的螺旋面共形类，这些映射中必有一个对应于该共形类中 $\bar\lambda_1$ 的旋转对称临界度量，其 $\bar\lambda_1$ 值大于平坦度量的值。这细化了最近由 Karpukhin 进行的研究结果，该研究回答了 El Soufi、Ilias 与 Ros 的问题。我们还能够表明，如果螺旋面上某旋转不变度量在其共形类中对 $\bar\lambda_1$ 为极大值，则该度量必为 $\mathbb S^1$ 等变且与上述度量（标量因子下）重合。最后，我们指出，一族称为 Otsuki 螺旋面的最小螺旋面自然地嵌入上述族中。这给出了 Otsuki 螺旋面以椭圆积分为参数的显式表示。