通过 $n$-调和映射的拉普拉斯与斯特克洛夫极值度量

我们利用 $n$-调和映射的概念，对任意维流形上的拉普拉斯与斯特克洛夫（Steklov）特征值的极值度量给出统一描述。我们的方法推广了将曲面上特征值极值度量与极小浸入及调和映射相联系的著名结果。在此过程中，我们揭示了斯特克洛夫特征值的两个此前未知的特征。首先，我们证明在高维情形存在一种涉及边界体积与流形自身体积的唯一归一化，其导出了有意义的极值特征值问题。其次，我们观察到，若考虑带密度的斯特克洛夫问题，则固定共形类中特征值泛函的临界点具有自然的几何解释。作为例子，我们在三维球中构造了一族自由边界调和环面，并猜想它们对应于各自共形类中使第一斯特克洛夫特征值极大的度量。