由第一特征函数实现的分支极小浸入曲面

Montiel和Ros证明了，对于紧致曲面上的每种共形结构，至多存在一个度量，容许通过第一特征函数到某个单位球面的极小浸入。我们将该定理推广到由通过第一特征函数到球面的分支极小浸入所诱导的带锥奇点度量的情形。我们的主要动机在于，实现第一非零Laplace特征值极大的度量正是由到球面的极小分支浸入所诱导的。特别地，我们证明了由$\mathbb{S}^2$诱导的此类度量的性质与由$m>2$的$\mathbb{S}^m$诱导的度量性质有显著不同。这一特征似乎是新颖的，并且在现有的$2$-环面与Klein瓶上Laplacian第一非零特征值锐上界证明中需要被考虑。在本文中我们处理此问题，并依据Nadirashvili、Jakobson-Nadirashvili-Polterovich、El Soufi-Giacomini-Jazar、Nadirashvili-Sire和Petrides的工作，对这些上界的完整证明给出详细概述。