极小球面的指标与等周特征值不等式

在本文中，我们使用扭量理论来解决与从曲面到欧氏球面 $\mathbb{S}^n$ 的调和映射相关的两个问题。首先，我们提出一种基于能量指标的等周不等式新途径。利用此途径，我们证明对任意正整数 $k$，赋予单位面积度量的实射影平面上拉普拉斯算子的第 $k$ 个非零特征值，在收敛于 $(k-1)$ 个相同拷贝的 round sphere 与一个单个 round projective plane 的并集的度量序列上达到最大。这推广了 P. Li 与 S.-T. Yau 对 $k=1$ 的结果（1982）；N. Nadirashvili 与 A. Penskoi 对 $k=2$ 的结果（2018）；并证实了 [KNPP] 中提出的猜想。其次，我们改进了 $\mathbb{S}^n$ 中极小二维球面与极小射影平面的面积指标的已知上界。在证明过程中我们建立了 Jacobi 场的扭量对应，这可能对调和映射模空间的研究有独立意义。