球面中常平均曲率超曲面的第二拼挤定理

我们将彭-滕、魏-徐、张以及丁-辛关于球面中极小超曲面的第二拼挤定理推广到具有小常平均曲率的超曲面情形。设$M^n$是$\mathbb{S}^{n+1}$中具有常平均曲率$H$的紧致超曲面。记$S$为$M$的第二基本形式的模长平方。我们证明存在仅依赖于$n$的两个正常数$\gamma(n)$和$\delta(n)$，使得若$|H|\leq\gamma(n)$且$\beta(n,H)\leq S\leq\beta(n,H)+\delta(n)$，则$S\equiv\beta(n,H)$且$M$为以下情形之一：(i) $\mathbb{S}^{k}(\sqrt{\frac{k}{n}})\times \mathbb{S}^{n-k}(\sqrt{\frac{n-k}{n}})$，$1\le k\le n-1$；(ii) $\mathbb{S}^{1}(\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}})\times \mathbb{S}^{n-1}(\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}})$。其中$\beta(n,H)=n+\frac{n^3}{2(n-1)}H^2+\frac{n(n-2)}{2(n-1)}\sqrt{n^2H^4+4(n-1)H^2}$，$\mu=\frac{n|H|+\sqrt{n^2H^2+4(n-1)}}{2}$。