Clifford 环面上 Thomson 问题的解及其在 Wigner 晶体中的应用

在原始版本中，Thomson 问题致力于寻找一组被限制在二维球面（${\cal S}^2$）表面、依据库仑定律相互排斥的类点电子的最小能量构型，其中距离取该球面嵌入空间（即 $\mathbb{R}^3$）中的欧氏距离。本工作中，我们考虑类比的问题：电子被限制在 $n$ 维平坦 Clifford 环面 ${\cal T}^n$ 上，其中 $n = 1, 2, 3$。由于环面 ${\cal T}^n$ 可嵌入复流形 $\mathbb{C}^n$ 中，我们仿照球面上 Thomson 问题的做法，将库仑定律中的距离定义为 $\mathbb{C}^n$ 中的欧氏距离。Clifford 环面上的 Thomson 问题之所以受关注，是因为具有 Clifford 环面拓扑的超胞可用于描述诸如 Wigner 晶体之类的周期系统。本文中我们数值求解了正方形 Clifford 环面上的 Thomson 问题。为说明该方法的有效性，我们将其应用于 Wigner 晶体。我们证明，对大量电子所得平衡构型与 Wigner 晶体的预测结构一致。最后，在一维情形下，我们解析地得到了能谱与声子色散律。