二维带剪切流的不稳定 Cahn-Hilliard 方程的全局存在性

本文考虑二维带剪切流的对流不稳定 Cahn-Hilliard 方程：\begin{equation*} \begin{cases} u_t+Av_1(y) \partial_x u+\varepsilon \Delta^2 u= \Delta(a u^3+ b u^2) \quad & \quad \textrm{on} \quad \mathbb T^2; \\ \\ u \ \textrm{periodic} \quad & \quad \textrm{on} \quad \partial \mathbb T^2, \end{cases} \end{equation*} 初值 $u_0 \in H_0^2(\mathbb T^2)$，其中 $\mathbb T^2$ 为二维环面，$A, \varepsilon>0$，$a<0$，$b \in \mathbb R$。在假设剪切具有有限个临界点且线性增长模仅沿剪切方向存在的条件下，我们证明若另有 $|a|$ 与 $\left\| \int_{\mathbb T} u_0(x, \cdot ) dx \right\|_{L_y^2}$ 均充分小，则该问题解的 $L^2$-能量指数收敛到零。